ВЛИЯНИЕ РАЗМЕРОВ САМОЛЕТА НА ДИНАМИКУ ПОЛЕТА. В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ

В предыдущих параграфах данной главы самолет рассматри­вался как точка в поле скоростей турбулентного движения возду­ха, так как предполагалось, что эти скорости одинаковы для всей его поверхности. Очевидно, что для больших самолетов такой подход является приближенным. В этом параграфе будет рас­смотрена методика, позволяющая оценить влияние размеров са­молета на силу и момент, возникающие при полете в турбулент­ной атмосфере.

При анализе продольного движения самолета с учетом его размеров необходимо прежде всего учесть два обстоятельства: неравномерность вертикальной составляющей порывов ветра по размаху крыла и несовпадение этих составляющих на крыле и хвостовом оперении в один и тот же момент времени.

1/2 J К (/,, 2) Да [(* — *!), zjdz,

Рассмотрим вначале, как изменится спектральная плотность вертикальной составляющей ветра, если учесть неравномерное распределение этой составляющей по размаху крыла. Общее вы­ражение для приращения подъемной силы крыла в случае, когда угол атаки является произвольной функцией времени и координа­ты г данного сечения крыла по размаху, может быть получено в форме интеграла Дюамеля [39]:

где K(t, z) — импульсная переходная функция (функция Гри­на) подъемной силы крыла;

Да (/, г) — приращение угла атаки;

/— размах крыла.

Импульсная переходная функция физически представляет со­бой подъемную силу, создающуюся на элементе крыла dz, отстоя­щем на расстоянии z от корневой хорды, когда изменение угла атаки на этом элементе характеризуется б-функцией. Найдем вначале переходную функцию подъемной силы, т. е. подъемную силу, возникающую на том же элементе dz, если изменение угла атаки имеет характер единичного скачка. В работе [38] показа­но, что относительное распределение подъемной силы по раз­маху при скачкообразном изменении угла атаки по существу не зависит от времени и совпадает со стационарной формой этого распределения. При подобном допущении от времени будет за­висеть лишь общая величина подъемной силы. Следовательно, переходная функция может быть представлена в виде двух со­множителей, один из которых является только функцией времени, а другой — функцией только координаты z, определяющей поло­жение элемента dz на крыле:

НО

В выражении (3.51) множитель е (z) представляет собой ста­ционарное распределение подъемной силы при единичном скачке угла атаки, определяемое формулой:

(3.52)

где b (г)— хорда крыла в сечении г;

Су — коэффициент подъемной силы всего самолета;

Суг — коэффициент подъемной силы сечения Z.

Второй множитель в (3.51) HY(t) характеризует изменение общей величины подъемной силы при скачкообразном измене­нии угла атаки и определяется формулой

ЯУ(0=С^5?(-^-). (3.53)

Функция ф, входящая в (3.53), определяет относительное из­менение во времени подъемной силы при единичном скачке угла атаки. Поскольку между импульсной переходной функцией K(t) и переходной функцией Я (/) существует простая связь, опреде­ляемая выражением (2.32), из (3.51) получаем окончательную формулу для импульсной переходной функции:

K(t, z)=±KrW*(z), (3.54)

где

Ky{t)=CayqS2!£±-. (3.55)

at

Заметим, что преобразование Фурье функции dy(t)ldt дает функцию Сирса Ф(jk), введенную в § 3.4.

Перейдем к определению приращения подъемной силы, созда­ваемого неравномерным распределением вертикальной состав­ляющей ветра по размаху. Заменив на основании (2.6) в выра­жении (3.50) приращение угла атаки на вертикальную составля­ющую ветра wy и введя вместо аргумента t — U линейную координату Ve (t — ti), получим

о» №

ЬУ9ф=*-Л — ^ dtx K{tuz)Wy[Vt{t-tx), z)dz. (3.56)

Є — оо —-1/2

Так как wy есть случайная функция, то и AYw(t) будет слу­чайной функцией времени. Корреляционная функция для подъем­ной силы, обусловленной ветром, определится формулой

оо О» 1/2 //2

5 5 5 5 K(tuzx)K{tb z2) X

-ОО —О. —112 —1/2

X Wy [Ve (t —*,), 2i] ®y [IM*+x ~ /2), z2] ,dzy dz2 dtx dt7. (3.57)

Корреляционная функция скорости ветра, стоящая под интег­ралом (отмечена чертой), является функцией как пространствен­ной координаты (г), так и времени (т). Однако, используя гипо­тезу Тейлора, на основании (1.27) можно связать аргументы х и т и считать эту функцию зависящей только от пространствен­ных координат х и г. В случае изотропной (или даже осесиммет­ричной) турбулентности указанная корреляционная функция будет зависеть лишь от абсолютного значения пространственного смещения, т. е. от Ух24- д22. Следовательно, можно считать, что

Ve — *l)> z\ wy We (<+T — *2). *2] =

=#»y{V VUx+^-ttf + iZz-zy ). (3.58)

Учитывая формулы (3.54) и (3.58), из (3.57) получаем

оо оо

Як(т)=-4- ^ 5 К у (/j) К у (t2) /?даэ (V е") dtx dt2, (3.59)

£ —00 —00

где Rv»(Ve%) — является усредненной по размаху крыла корре­ляционной функцией для вертикальной составля­ющей ветра:

II2 1/2 ____________

= 5 5 ^у[К^2+(г2-г:)2

—112 -1!2

Наконец, используя прямое преобразование Фурье, из (3.60) получаем выражение для усредненной по размаху крыла спект­ральной плотности вертикальной составляющей ветра:

оо J Ш V )

5 «" ~РГ< e’K*»(Vet)d(V». (3.61)

Очевидно, что в общем случае произвольной формы распреде­ления подъемной силы по размаху при единичном скачке угла атаки, т.. е. при произвольной форме зависимости е(г), определе­ние Rtoa и Sya по выражениям (3.60) и (3.61) может быть выпол­нено лишь численными методами. В работе [13] приведен резуль­тат аналитического интегрирования выражений (3.60) и (3.61) для простейшего случая равномерного распределения подъемной силы по размаху. В частности, для усредненной спектральной плотности вертикального ветра получена формула

s-h‘»7hV |зл vrR

— 2kl/T+v5K, (k vTp)- £2(1 + V*)Ко(k VT+72)]}, (3.62)

где v=u>L/Ve — безразмерная частота;

lL — относительный размах;

Ко и Kj — модифицированные функции Бесселя второго рода первого и нулевого порядков [33];

К, о — интеграл функции Бесселя, определяемый фор­мулой:

К<о (■*)=J Ко dx і. (3.63)

о

Дисперсия усредненной по размаху крыла вертикальной сос­тавляющей ветра на основании (3.62) определяется формулой

2 2 1-е—* ,0 с. ч

°Х09 ———— • (3.64)

k

На рис. 3.29 и 3.30 показаны графики отношения «iU/ow и приведенной усредненной спектральной плотности. Эти графики позволяют определить усредняющее влияние размаха крыла на спектральную плотность случайного ветра. Указан­ное влияние сказывается прежде всего в уменьше­нии дисперсии этой со­ставляющей при увеличе­нии размаха крыла (см. рис. 3.29). Такой резуль­тат легко объяснить, если учесть, что при стремле­нии размаха к бесконеч­ности подъемная сила от ветра должна стать рав­ной нулю, так как вдоль размаха будет действовать одинаковое число восходящих и нис­ходящих потоков одновременно.

Графики на рис. 3.30 показывают, что вместе с уменьшением дисперсии увеличение размаха приводит к более резкому спаду спектральной плотности на больших частотах. Если спектральная плотность для любой точки самолета на больших частотах убы­вает пропорционально v2 [см. (1.22)], то усредненная по размяху спектральная плотность на этих частотах убывает более интен­сивно.

Перейдем к анализу влияния на момент относительно попереч­ной оси запаздывания момента оперения, которое вызывается тем, что горизонтальное оперение попадет в ветер позже, чем

крыло. В результате этого запаздывания возникает дополнитель­ный момент, который не может быть учтен, если самолет считает­ся точкой.

Момент относительно поперечной оси, обусловленный только вертикальным ветром, создается за счет подъемных сил крыла

Рис. 3.30. Графики отношения усредненной по раз­маху крыла приведенной спектральной плотности вертикального ветра к дисперсии этого ветра в одной точке в функции безразмерной частоты

и оперения, вызываемых этим ветром. На основании этого момент тангажа может быть определен выражением

« 1/2

ДМда(0=у J KM*(tx)dtx 5 е(*К УЛі-іх *] dz +

— во —1/2

во

+ J KMo{h)wy[LT.0+Ve{t-tx)dtu (3.65)

—во

где Кмк(ї)—импульсная переходная функция момента танга­жа, создаваемого крылом при воздействии ветра wv в виде 6-функции;

Км о(0 — импульсная переходная функция момента тангажа, создаваемого оперением при воздействии ветра в виде 6-функции;

LT.0 — плечо горизонтального оперения.

Импульсная переходная функция для момента крыла отли­чается от импульсной переходной функции Kr(t) для подъемной силы (3.55) только геометрическими соотношениями. Для им­пульсной переходной функции момента крыла справедливо выра­жение

KMK(t)=Ky(t)xJVe, (3.66)

где *ь — — расстояние между центром давления крыла и центром тяжести самолета.

Выражая функцию Ky{t) через коэффициент Ь’у, получаем Кмк(і)=Ь-тхк-££1. (3.67)

Импульсная переходная функция для момента горизонталь­ного оперения наиболее просто может быть получена с учетом того, что этот момент равен разности момента всего самолета и момента крыла:

Кмо(()=Кме(() — Км к(0- (3.68)

Определяя момент всего самолета через его параметры, полу­чаем выражение

Кмо«)=-(с*1г+Ь-тхк)-^. (3.69)

На основании соотношения (3.65) можно получить выражение для корреляционной функции момента, создаваемого ветром — Mw(t)Mw(i — х). Применяя к этой корреляционной функции пре­образование Фурье, получаем выражение для спектральной плотности момента, вызываемого вертикальным ветром:

(«) = I И^к (/<■>)I2 5» , Н + Го (7«0 12 S* М+

+ 2 Re [e}aLr-o’veW0 (jm) WK (- y«)] («*), (3.70)

где символ Re обозначает действительную часть комплексного выражения.

Комплексные передаточные функции для момента крыла и оперения на основании (3.67) и (3.69) определяются соотноше­ниями: *1

WK тхк Ф (jk)=WK<& (усо), (3.71)

*0 (/•)“* “ (Су 7г + ф Uk) = — ^0Ф (/“)• (З-72)

Подставляя выражения (3.71) и (3.72) в (3.70), получаем ’ (ш)=[ГХ »+WlSw (ш)+2 cos (шLt.0lVe) X

(/•)!*• (3*73)

115

Для упрощения этого выражения введем соотношение

WK=rW0. (3.74)

Коэффициент г для нормальной компоновки самолета отрица­телен. В предельном случае нейтрального самолета г=—1. Для других центровок обычно | г| меньше 1, но больше нуля. С учетом (3.74) из (3.73) получим

(ш)=Wl [r2Sw. (ш) — f И+

-Н 2г COS (o>Lr.0IVe) Sw (»)] ІФ (/•) p. (3.75)

Наконец, для упрощения анализа влияния запаздывания мо­мента оперения относительно момента крыла можно, не внося существенной погрешности, пренебречь усредняющим влиянием размаха крыла на момент крыла. В этом случае Зи^ю) =5W(©), и из (3.75) получаем

5л,(«>)=^о[1+г2+2rcos(a,£r.0/l/J] |®(/»)pS.(«). (3.76)

Очевидно, что спектральная плотность момента без учета запаздывания момента оперения относительно момента крыла может быть получена из (3.76), если положить Lr. o=0:

S’M (<*>)=Wl (1 + г)2|Ф (/•) p (»). (3.77)

Найдем отношение среднеквадратичных значений моментов, подсчитанных на основании (3.76) и (3.77), т. е.

9м а’м

(3.78)

VI + г*+2,ЧГ (Lrj. IL, LrJbJ,

Это отношение дает относительную ошибку, получающуюся в случае, когда запаздывание момента оперения относительно момента крыла не учитывается. После подстановки в (3.78) выра­жений для соответствующих спектральных плотностей получаем

где функция ¥ определяется формулой

‘Р качестве примера на рис. 3.31 приведен построенный по формуле (3.80) график Y в функции LT. o/L для двух значений Lr. Jba■ На рис. 3.32 приведены построенные на основании (3.79) графики отношения среднеквадратичных значений моментов вмі^м в функции коэффициента г для различных значений Lr. o/L. Эти графики показывают, что среднеквадратичное значе­ние момента от вертикальной составляющей ветра ом, получен­ное с учетом запаздывания момента оперения относительно момента крыла, оказывается больше среднеквадратичного значе-

г

ния момента ом, для которого запаздывание не учитывалось. При г—>-0 указанный эффект стремится к нулю. При г—*■—1 отношение моментов стремится к бесконечности. Этот вывод не противоречит физике рассматриваемого явления, так как он яв­ляется результатом стремления к нулю момента ом для ней­трального самолета. Среднеквадратичное значение момента <Тм-, создаваемого вертикальным ветром, для нейтрального самолета с учетом запаздывания может быть подсчитано по спектральной плотности (3.76). Оно будет отличным от нуля и тем большим, чем больше Lr. o/L.

Таким образом, из графиков на рис. 3.31 и 3.32 следует, что учет запаздывания момента оперения относительно момента кры­ла имеет тем большее значение, чем больше отношение Lr. o/L и
абсолютное значение коэффициентов г. Этот коэффициент опре­деляется через параметры самолета формулой

Ьутхк

С. 1г 4- Ь. тхк

у у

Полученные выше формулы для спектральных плотностей вер­тикальной составляющей ветра (с учетом усредняющего действия размаха крыла) и момента (с учетом влияния плеча горизонталь­ного оперения) позволяют перейти к анализу динамики боль­шого * жесткого самолета в турбулентной атмосфере. Уравнения продольного движения большого самолета будут отличаться от уравнений (3.41) для малого самолета только видом правых частей:

Vt“L + 2£L е dt dt йШ. db» ——— J — Сі—— dt[26] 1 * dt

+ Ь. уЄу=ЬГ„{і)Іт, dV

-Cy-f—с-Уеу=-с^К + АМ^)1/г.

Правые части уравнений (3.82) определяются выражениями (3.56) и (3.65). Из уравнений (3.82) могут быть получены пере­даточные функции для различных параметров продольного дви­жения. Ограничимся анализом наиболее важного параметра — вертикальной перегрузки. Комплексная передаточная функция для перегрузки имеет вид

	1	— “2 + У“ (c-Ve + %) + с — Ve	■]«
G	— 0)2 + /<* (by + + CyVе) + &уС^ + Су Ve
X Wy(jw) —	" Уе	ь. У	]«
gh	— ю2 + У«*(6. + Cj + с-уе) + Ь^с^ + С. у Ve
		XWmU•),	(3.83)

где WY(jti>) и WM (/со) определяются преобразованием Фурье функций ДУт(і) и AMw(t).

Чтобы определить дисперсию и. среднеквадратичное значение перегрузки, необходимо найти ее спектральную плотность. Эта спектральная плотность определяется выражением:

£.,(•)=( |UM>) |2|WV(/<»)|2+| WW-0PX

X (|^к(И[2 +1W0(»|2 + 2Re[eiaL’-°lv‘W0(уо.)WK(-у о>)] } +

+2Re [Г, (уо.) W2 (- уш) WY (у«>) WK (y<o)+

+ Wl (уш) W2 ( — уш) Wy (уш) W0 (‘- уш)]) Sw, (ш), (3.84)

I Wi (/ев) И М^2(/ш)—комплексные передаточные функции,

стоящие соответственно в первой и второй квадратных скобках правой части (3.83);

Wy(J<a)=b — mQ(ji»)IVe — передаточная функция для подъем­ной силы крыла при воздействии вертикального ветра.

, +4 + cfe)* + b-Ci + ej’ ve) + (b.% + c. Ve)2

После подстановки в (3.84) значений передаточных функций и выполнения операций по выделению действительной части комплексных выражений получаем расчетную формулу для спек­тральной плотности перегрузки большого самолета

[b m? xк — f-

+ (c’y1 г + by т*кУ — 2 cos (mLr. o/VJ (С — 1г+Ьу ШХК)Х

X ь-у тхк—2c^ КЛ — 0)2+cy ve)

Ha рис. 3.33 представлен график (кривая 7) спектральной плотности перегрузки для самолета № 1, рассчитанный по фор­муле (3.85), т. е. с учетом размаха и плеча горизонтального опе­

рения. Чтобы влияние размеров самолета было выражено более, ярко, масштаб турбулентности выбран небольшим (L=il50 jk). Кривая 2 на этом же рисунке да­ет спектральную плотность, опре­деленную с учетом лишь усред­няющего влияния размаха, но без учета влияния плеча горизонталь­ного оперения. Она определялась на основании передаточной функ­ции (3.45) для малого самолета, но вместо спектральной плотно­сти ветра в данной точке Sw (<о) использовалась усредненная по размаху •спектральная плотность •Si» (со). Спектральная плотность перегрузки для самолета № 1 без учета его размеров на рис. 3.33 не нанесена, так как она почти сли­вается с кривой 7.

Среднеквадратичные значения перегрузки для этих трех слу­чаев следующие:

1) без учета размеров самолета <т„у=0,0536;

2) с учетом только усреднения по размаху о„у=0,0485;

3) с учетом размаха и плеча горизонтального оперения

=0,0521.

Сравнение кривых на рис. 3.33 и среднеквадратичных значе­ний перегрузки для рассмотренных случаев позволяет сделать следующие выводы.

Характер кривых спектральной плотности практически не ме­няется при учете поперечного и продольного размеров самолета. Усредняющее действие размаха крыла для больших самолетов и малых масштабов турбулентности приводит к довольно ощути­мому снижению вертикальной перегрузки от вертикальных поры­вов. В рассмотренном примере это снижение составило около 10%. Однако влияние плеча горизонтального оперения приводит к увеличению среднеквадратичного значения момента, созда­ваемого ветром, к увеличению колебаний самолета относительно центра тяжести и, в конечном итоге,— к увеличению перегрузки до значения, близкого к перегрузке малого самолета.

Для наиболее вероятных значений масштаба турбулентности (L=300 м) влияние поперечного и продольного размеров даже для тяжелых самолетов будет настолько незначительным, что в подавляющем большинстве случаев оно может не приниматься во внимание.